Háromszög
A háromszög fogalma és elemei
Def: A háromszögvonal, három szakaszból álló zárt törött vonal.
A háromszög, a síknak az a része, amelyet a háromszögvonal alkot az általa határolt
belső tartománnyal.
A háromszögvonalat alkotó szakaszok a háromszög oldalai. (AB, BC, AC )
A szomszédos oldalak közös pontja a háromszög csúcsa ( A, B, C ).
Def: A háromszögvonal, három szakaszból álló zárt törött vonal.
A háromszög, a síknak az a része, amelyet a háromszögvonal alkot az általa határolt
belső tartománnyal.
A háromszögvonalat alkotó szakaszok a háromszög oldalai. (AB, BC, AC )
A szomszédos oldalak közös pontja a háromszög csúcsa ( A, B, C ).
A háromszög elemei
α, β, γ a háromszög belső szögei. α1, β1, γ1 a háromszög külső szögei.
Az A csúcsnál van az α szög, szemben fekszik a BC oldal, melyet a-val jelölünk.
A B csúcsnál van a β szög, szemben fekszik az AC oldal, melyet b-vel jelölünk.
A C csúcsnál van a γ szög, szemben fekszik az AB oldal, melyet c-vel jelölünk.
α, β, γ a háromszög belső szögei. α1, β1, γ1 a háromszög külső szögei.
Az A csúcsnál van az α szög, szemben fekszik a BC oldal, melyet a-val jelölünk.
A B csúcsnál van a β szög, szemben fekszik az AC oldal, melyet b-vel jelölünk.
A C csúcsnál van a γ szög, szemben fekszik az AB oldal, melyet c-vel jelölünk.
A görög betűk.pdf (összeállította: Madarász Mária, újvidéki matematika tanárnő) | |
File Size: | 120 kb |
File Type: |
A háromszög oldalai közötti összefüggés
Lehet-e bármelyik három szakaszból háromszöget alkotni?
Tétel 1: A háromszög egyik oldalának hossza kisebb, mint a másik két oldal hosszának összege.
A háromszög a, b és c oldalára érvényes: a < b+c ; b < a+c ; c < a+b
Tétel 2: A háromszög mindegyik oldala nagyobb, mint a másik két oldal különbségének abszolút értéke.
a > |b-c| ; b > |a-c| ; c > |a-b|
Lehet-e bármelyik három szakaszból háromszöget alkotni?
Tétel 1: A háromszög egyik oldalának hossza kisebb, mint a másik két oldal hosszának összege.
A háromszög a, b és c oldalára érvényes: a < b+c ; b < a+c ; c < a+b
Tétel 2: A háromszög mindegyik oldala nagyobb, mint a másik két oldal különbségének abszolút értéke.
a > |b-c| ; b > |a-c| ; c > |a-b|
A háromszög osztályozása oldalai alapján
Háromféle háromszöget különböztetünk meg aszerint, hogy hány oldaluk egyenlő.
Minden olyan háromszög, amelynek mindhárom oldala egyenlő hosszúságú, egyenlő oldalú vagy szabályos háromszög.
Minden olyan háromszög, amelynek két oldala egyenlő hosszú, egyenlő szárú háromszög.
Az egyenlő szárú háromszög egyenlő oldalai a háromszög szárai, a harmadik oldal a háromszög alapja.
Minden háromszög, amelynek különböző hosszú a három oldala, különböző oldalú vagy általános háromszög.
A háromszögek osztályozása belső szögeinek nagysága alapján
Belső szögeinek nagysága szerint háromféle háromszög van.
Def: Ha a háromszög mindhárom szöge hegyesszög, akkor ez hegyesszögű háromszög.
Def: Ha a háromszög egyik belső szöge derékszög, akkor ez derékszögű háromszög.
A derékszöget alkotó oldalak a befogók, a derékszöggel szemben fekvő oldal az átfogó.
A derékszöget alkotó oldalak a befogók, a derékszöggel szemben fekvő oldal az átfogó.
Def: Ha a háromszög egyik belső szöge tompaszög, akkor ez tompaszögű háromszög.
A háromszög szögeinek összege
A háromszög külső szöge, a háromszög belső szögének a mellékszöge.
A háromszög egyik belső és a hozzá tartozó külső szögének összege 180°.
α + α1 = 180° ; β + β1 = 180° ; γ + γ1 = 180°
Tétel: A háromszög belső szögeinek összege 180°.
α + β + γ = 180°
α + β + γ = 180°
Tétel : A háromszög külső szögeinek összege 360°.
α1 + β1 + γ1 = 360°
α1 + β1 + γ1 = 360°
Feladatlap 1. - háromszögek szögei.pdf (összeállította: Kormányos Kávai Lívia, oromi matematika tanárnő) | |
File Size: | 40 kb |
File Type: |
Feladatlap 2. - háromszögek szögei.pdf (öszeállította: Kormányos Kávai Lívia, oromi matematika tanárnő) | |
File Size: | 41 kb |
File Type: |
A háromszög oldalai és szögei közötti összefüggés
1. Tétel: A háromszögben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő belső szögek vannak és fordítva.
2. Tétel. A háromszögben a nagyobb oldallal szemben nagyobb belső szög van és fordítva.
Szögszerkesztések
Szögfelezés, szögmásolás, szögszerkesztés (Mozaik kiadó weboldala)
A 60° szerkesztése
A 90° szerkesztése
A 45° szerkesztése
A 30° szerkesztése
A 120° szerkesztése
A 75° szerkesztése
Szögszerkesztés - sulinet
Háromszögek egybevágósága
Def: Az egybevágó háromszögek megfelelő oldalainak hossza egyenlő, a megfelelő szögei egybevágók.
I. Tétel (OOO) :Ha egy háromszög mindhárom oldala egyenlő egy másik háromszög megfelelő oldalaival, akkor a két háromszög egybevágó.
II. Tétel (OSZO): Ha egy háromszög két oldala egyenlő a másik háromszög két oldalával, és egyenlő az ezek az oldalak által bezárt szögük, akkor a két háromszög egybevágó.
III. Tétel (SZOSZ) :Ha egy háromszög egy oldala egyenlő a másik háromszög oldalával, és az ezeken az oldalakon fekvő szögeik páronként egyenlők, akkor a két háromszög egybevágó.
IV. Tétel (OOSZ): Ha az egyik háromszög két oldala egyenlő a másik háromszög két oldalával, és egyenlő a hosszabb oldallal szemben fekvőszögük, akkor a két háromszög egybevágó.
A haromszögek egybevágósága.pps | |
File Size: | 251 kb |
File Type: | pps |
Feladatlap - Háromszögek egybevágósága.pdf (összeállította: Madarász Mária, újvidéki matematika tanárnő) | |
File Size: | 190 kb |
File Type: |
Háromszögek szerkesztése
1.) Szerkesztés, ha adott a háromszög három oldala. (OOO)
2.) Szerkesztés, ha adott a háromszög két oldala és ezen oldalak által bezárt szög. (OSzO)
3.) Szerkesztés, ha adott a háromszög egy oldala és ezen oldalon fekvő két szöge. (SzOSz)
4.) Szerkesztés, ha adott a háromszög két oldala és a nagyobbikkal szemben levő szög. (OOSz)
Derékszögű háromszög szerkesztése: 13. feladat; 16. feladat;
Egyenlő szárú háromszög szerkesztése: 14. feladat; 15. feladat; 17. feladat; 19. feladat; 20. feladat
Egyenlő oldalú háromszög szerkesztése: 18. feladat;
Egyenlő szárú háromszög szerkesztése: 14. feladat; 15. feladat; 17. feladat; 19. feladat; 20. feladat
Egyenlő oldalú háromszög szerkesztése: 18. feladat;
Feladatlap 1. - Háromszög szerkesztési feladatok.pdf | |
File Size: | 41 kb |
File Type: |
A háromszög nevezetes pontjai
1.) A háromszög körülírt köre
Def: A háromszög mindhárom oldalfelező merőlegese egy pontban metszi egymást, ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja.
A háromszög körülírt körének középpontja egyenlő távolságra van a háromszög mindhárom csúcsától.
- Ha a háromszög hegyesszögű, akkor a köré írható kör középpontja a háromszög belsejében van.
- Ha a háromszög derékszögű, akkor a köré írható kör középpontja az átfogó felezési pontja.
- Ha a háromszög tompaszögű, akkor a köré írható kör középpontja a háromszögön kívül esik.
|
2.) A háromszög beleírt köre
Def: A háromszög belső szögeinek a szög felezői egy pontban metszik egymást, ez a pont a háromszögbe írható kör középpontja.
A háromszög beírt körének középpontja egyenlő távolságra van a háromszög mindhárom oldalától.
Minden háromszögnek van beírható és körülírható köre.
|
3.) A háromszög magasság vonalai és magasságpontja
Def: A háromszög magasságvonalának a csúcsból a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőlegest nevezzük. (h)
A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást, ez a magasságpont.( H )
- Hegyesszögű háromszög esetén a magasságpont a háromszög belső tartományában van.
- Tompaszögű háromszög esetén a magasságpont a háromszög külső tartományában van.
- Derékszögű háromszög esetében a magasságpont egybeesik a derékszögnél lévő csúccsal.
|
4.) A háromszög súlyvonalai és súlypontja
Def: A háromszög csúcspontjait és a szemközti oldalak felezőpontjait összekötő szakaszokat súlyvonalaknak nevezzük.
A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást (s). Ez a metszéspont a háromszög súlypontja ( S ).
sa, sb, sc –súlyvonalak S – súlypont
Def: A háromszög csúcspontjait és a szemközti oldalak felezőpontjait összekötő szakaszokat súlyvonalaknak nevezzük.
A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást (s). Ez a metszéspont a háromszög súlypontja ( S ).
sa, sb, sc –súlyvonalak S – súlypont
|
Feladatlap 2 - Háromszögek és nevezetes pontjainak szerk.pdf | |
File Size: | 14 kb |
File Type: |